一课研究之“符号意识的形成与发展”

什么是符号意识？它有什么作用？

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。

符号意识包括能够给符号、表达式和公式赋予意义，并“感觉”到它们的结构。

把符号意识与数意识进行类比，给出符号意识的一些基本特征。包括：建立公式的技能，确认等价表达式的能力，以及怎样通过这些公式和表达式去表示数学的意义。

把符号意识看作是“从符号里抽象出数学意义和结构，用符号有效地表达数学意义和结构，以及通过符号的操作发现新的数学意义和结构一般化的能力。”

将符号意识与“结构意识”进行类比，结构意识是指灵活地、操作性运用表达式的等价结构的能力。

符号意识的形成是代数学习的一个重要标志，是学习代数的必要条件。符号意识和代数洞察力在数学问题解决中具有关键的作用。

符号的使用是代数学习的基础，学生对符号是否了解是影响学生代数学习的非常重要的因素，学生对符号意义的理解的差异，会影响到问题解决的困难程度。

什么是符号？它在数学中有哪些用法？

所有的符号资源，不论是文字语言、数学符号，还是视觉表征，都是为了区分“类别”和“程度”。文字语言是形态符号学，意义来自物质类别与类别之间的关系，或者对行动过程以及各种关系的分类 。视觉表征以及人类肢体运动的语言是拓扑符号学，如颜色深浅、线条长短、形状曲率、运动速度等。数学符号则能够兼具这两个方面的功能。

学生符号意识的形成有哪些困难？

1.许多研究都表明对代数表达式中使用的字母的解释，对许多儿童来说不是一件容易的事。从多种不同的观点和重点出发，这些研究发现绝大多数的15岁儿童看起来似乎不能把代数中的字母解释为一般化的数字甚至是特殊的未知数。

2.大范围的研究表明，很大比例的学生忽视了这些字母，把它们用数值来代替了，或者把它们作为名字或度量标志的速记来看待。

3.影响学生解释代数符号的因素包括认知水平、先前的算术经验、思维的方法、多元表征，以及括号的使用等。如算术公式里的字母符号的含义在学生看来是一种“标签”，而在代数中则要把字母理解为未知数、变量以及参数，这样的转变对学生来说并不容易。

4.在用来强调“字母是一般化的数”的教学实验中，发现学生要顺应这个思想有强烈的障碍。在对年纪较大的学生的研究中发现，只有很少的人可以清楚而完全地描述参数、未知数以及变量之间的差异。近来的研究还发现了其他影响学生代数观念的因素，例如个人所能观察到的东西以及对注意的准备、教学活动的性质。

5.帮助学生建立代数式意义和方程意义的教学实验显示：学生建立方程的意义比建立代数式的意义更容易一些，这个结果与学生总是在他们进行化简的代数式后面添加“=0”的结果是吻合的。

6.学生对数学符号的理解和解释将影响到他们问题解决的策略。在用代数方法解决问题的过程中，学生总是从代数的思路上转移到算术的问题解决方法上。另一项有关方程的建立的研究指出，6、7年级的学生（大约12、13岁）的推理能力和符号化能力似乎是相互独立的，也就是学生可以写出方程来表征问题，但是却不使用这些方程来寻找问题的解，而是喜欢使用那些更“不正式”的算术方法。

代数活动在教学上具有较大的弹性。一方面，小学生也能够体会代数的一些想法，针对7——11岁儿童的课堂观察发现，小学生使用数学符号不只是记录他们了解的事物，也是帮助去进一步建构他们的想法，让他们能在别的地方做不曾做过的推论。但另一方面，即使那些能成功运用代数技术的学生，也经常不能把代数看作理解、表述、交流一般化的工具，揭示结构的工具，建立联系的工具和明确叙述数学的论点的工具。

符号意识发展包括哪几个层面？

第一个层面：运用符号去表示数学的意义和结构。要求学生能够意识到数学符号的优点，如精确性、简洁性、可操作性等。

第二个层面：能够解释符号所表示的数学意义和结构。如知道方程中的未知数的意义，以及一元一次方程、二元一次方程组的意义；知道函数中自变量与函数值之间的关系；能够给出公式的几何解释等。

第三个层面是对符号进行演算（包括等价变形）。与算术运算不同的是，代数中的运算主要是抽象的符号运算，其中包括公式的变形，代数式的化简与恒等变形，方程与不等式的同解变形，因式分解，求导与求定积分，以及待定系数法，换元法等。

符号运算是我国中学数学课程的一个强项。如鲍建生（2002）通过中英两国8年级数学课程的比较发现，英国期望课程中“无运算”或者只包含“数值运算”的习题所占的百分比显著高于我国的课本，两项相加达到了86%，而在“简单符号运算”和“复杂符号运算”两个水平上的百分比则显著低于我国的课本。

其中特别地，我国课本中属于“复杂符号运算”高达38%。而英国却没有一题属于这一水平，其他两个课程（实施课程与获得课程）也有类似的结果。

第四个层面是运用符号进行思维，从而发现新的数学意义和结构。如讨论函数的单调性；用方程表示动点的轨迹，并用代数的方法讨论轨迹的性质；建立实际情形的数学模型；通过构造新的集合或者建立新的代数结构，从而产生新的代数系统（如系数的扩张）等。

这个层面上反映的是代数的本质活动：代数是一种语言，一种思维方式，一种数学建模活动，一种发现问题和解决问题的工具。

符号意识的上述四个层面是相互联系、相辅相成的，不能互相割裂，也不能厚此薄彼。例如，尽管符号变换是数学的基本活动，但如果过分强调变换的技巧，而忽视符号与表达式中的数学意义与结构，那么就会把数学变成一种无意义的符号游戏。正因为如此，在我国新的数学课程标准中，对因式分解、不等式证明、三角恒等变形等的要求已大为降低。

符号意识的教学目标性要求有哪些？

在我国上海市的纲领性文件«进入21世纪的中小学数学教育行动纲领》（1997——2010）中，也把“数学抽象的能力”、“数学符号变换的能力”以及“数学应用的能力”作为数学的基础能力，并指出“数学符号变换既包括数量计算和逻辑演绎，也包括经验归纳甚至空间联想，这是数学的主要方法。”

美国著名的《2061计划》认为，数学家的主要活动是“符号变换”，其中包括：符号运算；通过符号变换构造“猜想”、“假设”，并对所提出的数学命题做出判断；用数学“语句”表达数学归纳的构造过程，即由个别案例归纳出一般命题；拓展，尽可能发现和创造一般规律，创造模式；演绎。所有这些过程都可看作是一系列的符号中的变换，其结果也是用含有符号的分式的语句来表示的。

总之，在“符号变换”这一阶段，数学活动的对象是数学符号，由这些符号所表示的各种数学对象与关系正是数学家的研究对象，他们用各种数学思想与方法，根据所约定的规则对这些符号进行各种“变换”。

近年来，关于符号教学的一个变化是：过去，模型和符号通常作为已经做好的有预先决定的含义的工具，由教师介绍给学生，目的是为了使抽象的数学变得更加容易理解。而现在，更提倡把模型和符号看作是学生自己的数学活动的产物。

备注：本期内容根据《数学学习的心理基础与过程》（鲍建生著）第323——325页改编。

5

做一做：学以致用

一、填空

1.符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示（ ）、（ ）和（ ）。

2.符号意识包括能够给（ ）、（ ）和

（ ）赋予意义，并“感觉”到它们的结构。

3.算术公式里的字母符号的含义在学生看来是一种“标签”，而在代数中则要把字母理解为（ ）、（ ）以及（ ）。

二、选择

1.把符号意识看作是从符号里抽象出数学

（ ）和（ ）。

A.结构 B.意义 C.结构一般化

2.影响学生解释代数符号的因素包括

( )、（ ）、思维的方法、( )，以及括号的使用等。

A.认知水平 B.先前的算术经验

C.多元表征

3.代数是一种语言，一种思维方式，一种数学( )，一种发现问题和解决问题的工具。

A.建模活动 B.方法 C.运算

参考答案

一、填空

数 数量关系 变化规律

符号 表达式 公式

未知数 变量 参数

二、选择

1.AB 2.ABC 3.A

by 果壳里

审核人：吴恢銮返回搜狐，查看更多